Ensembles finis Exemples

$r^{2} = {(4 - h)}^{2} + {(2 - k)}^{2}$

Étape 1

Déplacez toutes les expressions du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Soustrayez ${(4 - h)}^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$r^{2} - {(4 - h)}^{2} = {(2 - k)}^{2}$

Étape 1.2

Soustrayez ${(2 - k)}^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$r^{2} - {(4 - h)}^{2} - {(2 - k)}^{2} = 0$

Étape 2

Simplifiez $r^{2} - {(4 - h)}^{2} - {(2 - k)}^{2}$ .

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Réécrivez ${(4 - h)}^{2}$ comme $(4 - h) (4 - h)$ .

$r^{2} - ((4 - h) (4 - h)) - {(2 - k)}^{2} = 0$

Étape 2.1.2

Développez $(4 - h) (4 - h)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$r^{2} - (4 (4 - h) - h (4 - h)) - {(2 - k)}^{2} = 0$

Étape 2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$r^{2} - (4 \cdot 4 + 4 (- h) - h (4 - h)) - {(2 - k)}^{2} = 0$

Étape 2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$r^{2} - (4 \cdot 4 + 4 (- h) - h \cdot 4 - h (- h)) - {(2 - k)}^{2} = 0$

Étape 2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.3.1.1

Multipliez $4$ par $4$ .

$r^{2} - (16 + 4 (- h) - h \cdot 4 - h (- h)) - {(2 - k)}^{2} = 0$

Étape 2.1.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$r^{2} - (16 - 4 h - h \cdot 4 - h (- h)) - {(2 - k)}^{2} = 0$

Étape 2.1.3.1.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$r^{2} - (16 - 4 h - 4 h - h (- h)) - {(2 - k)}^{2} = 0$

Étape 2.1.3.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$r^{2} - (16 - 4 h - 4 h - 1 \cdot - 1 h \cdot h) - {(2 - k)}^{2} = 0$

Étape 2.1.3.1.5

Multipliez $h$ par $h$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.3.1.5.1

Déplacez $h$ .

$r^{2} - (16 - 4 h - 4 h - 1 \cdot - 1 (h \cdot h)) - {(2 - k)}^{2} = 0$

Étape 2.1.3.1.5.2

Multipliez $h$ par $h$ .

$r^{2} - (16 - 4 h - 4 h - 1 \cdot - 1 h^{2}) - {(2 - k)}^{2} = 0$

Étape 2.1.3.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$r^{2} - (16 - 4 h - 4 h + 1 h^{2}) - {(2 - k)}^{2} = 0$

Étape 2.1.3.1.7

Multipliez $h^{2}$ par $1$ .

$r^{2} - (16 - 4 h - 4 h + h^{2}) - {(2 - k)}^{2} = 0$

Étape 2.1.3.2

Soustrayez $4 h$ de $- 4 h$ .

$r^{2} - (16 - 8 h + h^{2}) - {(2 - k)}^{2} = 0$

Étape 2.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$r^{2} - 1 \cdot 16 - (- 8 h) - h^{2} - {(2 - k)}^{2} = 0$

Étape 2.1.5

Simplifiez

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Étape 2.1.5.1

Multipliez $- 1$ par $16$ .

$r^{2} - 16 - (- 8 h) - h^{2} - {(2 - k)}^{2} = 0$

Étape 2.1.5.2

Multipliez $- 8$ par $- 1$ .

$r^{2} - 16 + 8 h - h^{2} - {(2 - k)}^{2} = 0$

Étape 2.1.6

Réécrivez ${(2 - k)}^{2}$ comme $(2 - k) (2 - k)$ .

$r^{2} - 16 + 8 h - h^{2} - ((2 - k) (2 - k)) = 0$

Étape 2.1.7

Développez $(2 - k) (2 - k)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$r^{2} - 16 + 8 h - h^{2} - (2 (2 - k) - k (2 - k)) = 0$

Étape 2.1.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$r^{2} - 16 + 8 h - h^{2} - (2 \cdot 2 + 2 (- k) - k (2 - k)) = 0$

Étape 2.1.7.3

Appliquez la propriété distributive.

$r^{2} - 16 + 8 h - h^{2} - (2 \cdot 2 + 2 (- k) - k \cdot 2 - k (- k)) = 0$

Étape 2.1.8

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.8.1.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$r^{2} - 16 + 8 h - h^{2} - (4 + 2 (- k) - k \cdot 2 - k (- k)) = 0$

Étape 2.1.8.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$r^{2} - 16 + 8 h - h^{2} - (4 - 2 k - k \cdot 2 - k (- k)) = 0$

Étape 2.1.8.1.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$r^{2} - 16 + 8 h - h^{2} - (4 - 2 k - 2 k - k (- k)) = 0$

Étape 2.1.8.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$r^{2} - 16 + 8 h - h^{2} - (4 - 2 k - 2 k - 1 \cdot - 1 k \cdot k) = 0$

Étape 2.1.8.1.5

Multipliez $k$ par $k$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.8.1.5.1

Déplacez $k$ .

$r^{2} - 16 + 8 h - h^{2} - (4 - 2 k - 2 k - 1 \cdot - 1 (k \cdot k)) = 0$

Étape 2.1.8.1.5.2

Multipliez $k$ par $k$ .

$r^{2} - 16 + 8 h - h^{2} - (4 - 2 k - 2 k - 1 \cdot - 1 k^{2}) = 0$

Étape 2.1.8.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$r^{2} - 16 + 8 h - h^{2} - (4 - 2 k - 2 k + 1 k^{2}) = 0$

Étape 2.1.8.1.7

Multipliez $k^{2}$ par $1$ .

$r^{2} - 16 + 8 h - h^{2} - (4 - 2 k - 2 k + k^{2}) = 0$

Étape 2.1.8.2

Soustrayez $2 k$ de $- 2 k$ .

$r^{2} - 16 + 8 h - h^{2} - (4 - 4 k + k^{2}) = 0$

Étape 2.1.9

Appliquez la propriété distributive.

$r^{2} - 16 + 8 h - h^{2} - 1 \cdot 4 - (- 4 k) - k^{2} = 0$

Étape 2.1.10

Simplifiez

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Étape 2.1.10.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$r^{2} - 16 + 8 h - h^{2} - 4 - (- 4 k) - k^{2} = 0$

Étape 2.1.10.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$r^{2} - 16 + 8 h - h^{2} - 4 + 4 k - k^{2} = 0$

Étape 2.2

Soustrayez $4$ de $- 16$ .

$r^{2} + 8 h - h^{2} - 20 + 4 k - k^{2} = 0$

Étape 3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $r$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Soustrayez $8 h$ des deux côtés de l’équation.

$r^{2} - h^{2} - 20 + 4 k - k^{2} = - 8 h$

Étape 3.2

Ajoutez $h^{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$r^{2} - 20 + 4 k - k^{2} = - 8 h + h^{2}$

Étape 3.3

Ajoutez $20$ aux deux côtés de l’équation.

$r^{2} + 4 k - k^{2} = - 8 h + h^{2} + 20$

Étape 3.4

Soustrayez $4 k$ des deux côtés de l’équation.

$r^{2} - k^{2} = - 8 h + h^{2} + 20 - 4 k$

Étape 3.5

Ajoutez $k^{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$r^{2} = - 8 h + h^{2} + 20 - 4 k + k^{2}$

Étape 4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$r = \pm \sqrt{- 8 h + h^{2} + 20 - 4 k + k^{2}}$

Étape 5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$r = \sqrt{- 8 h + h^{2} + 20 - 4 k + k^{2}}$

Étape 5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$r = - \sqrt{- 8 h + h^{2} + 20 - 4 k + k^{2}}$

Étape 5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$r = \sqrt{- 8 h + h^{2} + 20 - 4 k + k^{2}}$

$r = - \sqrt{- 8 h + h^{2} + 20 - 4 k + k^{2}}$

$r = \sqrt{- 8 h + h^{2} + 20 - 4 k + k^{2}}$

$r = - \sqrt{- 8 h + h^{2} + 20 - 4 k + k^{2}}$